快速排序实现及其pivot的选取

coursera上斯坦福的算法专项在讲到快速排序时，称其为最优雅的算法之一。快速排序确实是一种比较有效的排序算法，很多类库中也都采用了这种排序算法，其最坏时间复杂度为$O(n^2)$，平均时间复杂度为$O(nlogn)$，且其不需要额外的存储空间。

基本步骤

快速排序主要使用了分治的思想，通过选取一个pivot，将一个数组划分为两个子数组。其步骤为：
1.从数组中选择一个元素作为pivot
2.重新排列数组，小于pivot的在pivot的左边，大于pivot的在其右边。
3.递归地对划分后的左右两部分重复上述步骤。

简单的伪代码如下：

其中最主要的就是partition划分过程了。

划分过程

partition过程需要首先选择一个pivot，然后将小于pivot的元素放到左半部分，大于pivot的放到右半部分，并且最终pivot的位置及为其在排序好的数组中的最终位置。

这里使用第一个元素作为pivot，若选择其他元素作为pivot，则将其交换到第一个元素，这样可以保证代码的一致性及容易实现。示意图如下：

这里使用i和j，i和j最初为p+1的位置，在遍历的过程中i始终指向>p的第一个元素，j始终指向当前待遍历的元素，若a[j] < p，则将其与a[i]进行交换。相关过程如下:

基本实现如下：

    /**
    * a[l+1],...,a[i-1] < p
    * a[i],...,a[j-1] > p
    */
    private static int partition(int[] a, int l, int r) {
        int p = a[l];

        int i = l + 1;
        for (int j=l+1; j<=r; j++) {
            if (a[j] < p) {
                swap(a, j, i);
                i++;
            }
        }
        swap(a, l, i-1);
        return i-1;
    }

基本实现

public class QuickSort {
    public static void qSort(int[] a) {
        if (a == null || a.length <= 1) {
            return;
        }
    
        qSort(a, 0, a.length-1);
    }

    private static void qSort(int[] a, int l, int r)    {
        if (l >= r) {
            return;
        }

        int pos = partition(a, l, r);

        qSort(a, l, pos - 1);
        qSort(a, pos + 1, r);
    }

    /**
    * a[l+1],...,a[i-1] < p
    * a[i],...,a[j-1] > p
    */
    private static int partition(int[] a, int l, int r) {
        int p = a[l];
        int i = l + 1;
        for (int j=l+1; j<=r; j++) {
            if (a[j] < p) {
                swap(a, j, i);
                i++;
            }
        }
        swap(a, l, i-1);
        return i-1;
    }

    //返回pivot下标 选择第一个元素
    private static int choosePivotFirst(int[] a, int l, int r) {
        return l;
    }
    
   private static void swap(int[] a, int x, int y) {
        int temp = a[x];
        a[x] = a[y];
        a[y] = temp;
    }

pivot的选取

根据斯坦福算法专项课，然我们实现三种不同的pivot选取方式，并计算相应比较次数，分别为choose first, choose last, median of three, 还可以进行随机选取，这也是快速排序为什么是一种随机化算法。

pivot的选取决定了快速排序的运行时间，下面对几种特殊情况进行分析：

1.最坏情况

假设我们始终选取第一个元素作为pivot, 并且输入数组是有序的，那么每次划分后面所有元素都大于pivot, 每次只能将问题规模减少１，所以运行时间为$n+n-1+n-2+...+1$ = $O(n^2)$.

2.最好情况

最好情况为每次选取的pivot都能将数组平均地划分为两部分，由于划分的过程为$O(n)$，所以总的运行时间为$$T(n) = 2T(n/2) + O(n)$$根据主方法，时间复杂度为O(nlogn)。

3.随机选取

每次运行过程中，随机选取pivot, 通常能得到比较好的结果。

选取方式及实现

斯坦福算法专项课上让我们实现三种不同的选取方式，选取第一个，最后一个，以及三数取中。

1.choose first

该种方式最为简单，只需返回子数组的第一个元素下标即可，下面为其实现：

//返回pivot下标 选择第一个元素
private static int choosePivotFirst(int[] a, int l, int r) {
    return l;
}

2.choose last

选择最后一个元素，实现如下：

//选择最后一个元素作为pivot
private static int choosePivotLast(int[] a, int l, int r) {
        return r;
}

3.median-of-three

选取第一个、最后一个以及中间的元素的中位数，如4 5 6 7, 第一个4, 最后一个7, 中间的为5, 这三个数的中位数为５, 所以选择5作为pivot，8 2 5 4 7, 三个元素分别为8 5 7, 中位数为7, 所以选择最后一个元素7作为pivot，其实现如下：

//median-of-three pivot rule
private static int choosePivotMedianOfThree(int[] a, int l, int r) {    
    int mid = 0;
    if ((r-l+1) % 2 == 0) {
        mid = l + (r-l+1)/2 - 1;
    } else {
        mid = l + (r-l+1)/2;
    }

    //只需要找出中位数即可，不需要交换
    //有的版本也可以进行交换
    if (((a[l]-a[mid]) * (a[l]-a[r])) <= 0) {
        return l;
    } else if (((a[mid]-a[l]) * (a[mid]-a[r])) <= 0)    {
        return mid;
    } else {
        return r;
    }
}

最后的划分过程如下：

private static int partition(int[] a, int l, int r) {
    //pivot选择方式
    //int pi = choosePivotFirst(a, l, r);
    //int pi = choosePivotLast(a, l, r);
    int pi = choosePivotMedianOfThree(a, l, r);

    //始终将第一个元素作为pivot, 若不是, 则与之交换
    if (pi != l) {
        swap(a, pi, l);
    }
    int p = a[l];

    int i = l + 1;
    for (int j=l+1; j<=r; j++) {
        if (a[j] < p) {
            swap(a, j, i);
            i++;
        }
    }
    swap(a, l, i-1);
    return i-1;
}

注意最后的划分过程相比于之前增加的pivot的选取方式，而不是单纯地将第一个元素作为pivot, 可以看到，若第一个元素不是pivot, 需要将pivot与第一个元素进行交换，这样保证代码的统一性。

总结与感想

1.学会体会这些算法背后的思想，为什么要这样设计

2.对于比较复杂的算法，学会使用特殊情况进行分析

参考资料:

(1) coursera斯坦福算法专项课part1

(2) 维基百科快速排序